I Filtri analogici - terza parte

di Michele Viola

In dipendenza dalla posizione della banda passante e della banda attenuata, i filtri si possono si possono classificare in:
- passa-bassi
- passa-alti
- passa-banda
- elimina-banda

Le caratteristiche di un filtro ideale sono, sostanzialmente, le seguenti:
- non distorce, cioè presenta risposta in ampiezza costante e risposta in fase lineare (cioè ritardo di grupponota 1 costante), all’interno della banda passante;
- risposta nulla in banda attenuata;
- transizione brusca tra banda passante e banda attenuata.

I filtri ideali, purtroppo, non sono fisicamente realizzabili nella realtà, almeno così come sono. In pratica (figura 1):
- la risposta in ampiezza e il ritardo di gruppo non saranno perfettamente costanti all’interno della banda passante, saranno compresi entro un valore minimo ed un valore massimo prefissati;
- la risposta in banda attenuata non sarà perfettamente nulla ma sarà inferiore ad un valore minimo prefissato;
- le transizioni tra banda passante e banda attenuata non saranno perfettamente verticali ma coinvolgeranno un intervallo di frequenza non nullo.

Figura 1: risposta in ampiezza dei filtri ideali (a sinistra), simboli (al centro) e risposta in ampiezza dei filtri reali (a destra). Dall'alto al basso: passa-bassi, passa-alti, passa-banda, elimina-banda.

In generale, come si poteva notare dalle considerazioni svolte nei due numeri precedenti (almeno per i più coraggiosi e/o volonterosi), le specifiche sull’ampiezza e sulla fase non sono indipendenti tra loro.
Questo equivale a dire che la risposta in frequenza di un circuito reale non può essere completamente arbitraria; in effetti, può essere espressa matematicamente non da una funzione qualunque, ma tramite il rapporto di due polinomi di variabile complessa a coefficienti reali, con il denominatore di grado superiore o uguale al numeratore.
Le radici del denominatore si chiamano poli e le radici del numeratore si chiamano zeri. Poli e zeri sono, in pratica, valori di frequenza.
Il numero di poli, che è pari all’ordine del filtro, è necessariamente maggiore o uguale al numero degli zeri, non è possibile che una rete reale sia rappresentata da una funzione con più zeri che poli.
Ogni polo introduce un’attenuazione progressiva (di 6 dB/oct) e, contemporaneamente, uno sfasamento in ritardo di 90°; ogni zero introduce un’esaltazione progressiva (sempre di 6 dB/oct) e, contemporaneamente, uno sfasamento in anticipo di 90°.

In sede di progettazione, le specifiche desiderate del filtro si possono in genere rappresentare con un diagramma (maschera) in cui sono evidenziati i margini di accettabilità delle oscillazioni in banda passante, dell’attenuazione in banda oscura e dell’ampiezza della banda di transizione (figura 2).

Figura 2: maschera per un filtro passa-bassi reale, sovrapposta ad un possibile andamento della risposta in ampiezza (in rosso).

Dai limiti evidenziati nella maschera si può risalire ad un’espressione analitica della funzione di trasferimento, in termini, come scritto sopra, di rapporto di polinomi di variabile complessa. Successivamente si sceglie una topologia, cioè un tipo di schema elettrico che permetta di realizzare il circuito desiderato, e di seguito si calcolano i valori dei componenti necessari per realizzare la funzione di trasferimento.
Il primo parametro significativo di cui tenere conto, generalmente, è la pendenza della banda di transizione, correlata al rapporto tra le frequenza fp e la frequenza ft, solitamente espresso in ottave (ma anche in decadi, o in percentuale), ed alla minima attenuazione richiesta rispetto al guadagno in banda passante. Questa pendenza, infatti, è collegata all’ordine del filtro e, di conseguenza, alla sua complessità.

Dato l’ordine del filtro, ci sono in genere diversi modi per scegliere una funzione di trasferimento con caratteristiche adatte a rispettare i requisiti evidenziati nella maschera.
In letteratura (così come nei processori di segnale e nei cross-over) si trovano, in effetti, diversi tipi di filtro, pensati per rispondere ad esigenze diverse.

Tra i filtri più diffusi si trovano:
- i filtri Bessel (anche detti Bessel-Thomson)
- i filtri Butterworth
- i filtri Linkwitz-Riley
Ciascuna delle denominazioni riportate sopra, insieme ad altre forse un po’ meno diffuse, corrisponde in effetti ad un tipo di funzione di trasferimento, e ciascuno di tali tipi di filtro presenta delle specificità rispetto agli altri.

I filtri Bessel sono filtri la cui risposta in fase è il più possibile lineare, cioè il ritardo al variare della frequenza è più possibile costante. Questo significa che, per quanto possibile, tutte le frequenze sono ritardate dello stesso intervallo temporale, minimizzando così la distorsione di fase. Il ritardo di gruppo è tanto più costante (all’interno della banda passante) quanto più elevato è l’ordine (e quindi la complessità) del filtro.
A causa della nota teoria per cui non ci sono pasti gratis, però, la risposta in ampiezza di un filtro Bessel non è proprio il massimo, nel senso che la banda di transizione è molto ampia e la risposta in banda passante non si può dire propriamente costante.
I filtri Butterworth, dualmente, sono “massimamente piatti” in ampiezza, sia nella banda passante che nella banda attenuata, mentre per quanto riguarda la fase non si comportano così bene come i filtri Bessel. Anche in questo caso, la risposta in ampiezza si può rendere maggiormente piatta aumentando l’ordine del filtro e quindi la relativa complessità circuitale.
I filtri Linkwitz-Riley sono specificatamente utilizzati nei cross-over. Un filtro passa-bassi ed un passa-alti Linkwitz-Riley accoppiati presentano un segnale complessivo, pari alla somma dei segnali uscenti da ciascuno dei due stadi, di ampiezza costante al variare della frequenza. In altri termini, un cross-over Linkwitz-Riley presenta la massima coerenza nella risposta in ampiezza, nell’intorno del punto di incrocio.

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