I Filtri analogici - seconda parte

di Michele Viola

Un filtro del secondo ordine è caratterizzato da due componenti reattivi. Due condensatori, oppure due induttanze, oppure un condensatore ed un’induttanza.
Rispetto ad un filtro del primo ordine si può, ad esempio, applicare due volte di seguito la stessa correzione, raddoppiando così l’efficacia del filtro.

Figura 1: Un filtro passa-bassi RC del secondo ordine. Il circuito si può pensare composto di due filtri passa-bassi del primo ordine in cascata.

La prima caratteristica che distingue un filtro del secondo ordine da un filtro del primo ordine, a parte ovviamente lo schema elettrico, è la pendenza, ovvero la rapidità con cui il filtro attenua le frequenze via via più distanti dalla frequenza di taglio.
In un filtro del primo ordine, passa alti o passa bassi, allontanandosi dalla frequenza di taglio l’attenuazione aumenta con una rapidità di 6 dB per ottava.
Un filtro del secondo ordine, ad esempio un passa-bassi come quello rappresentato in figura 1, mostra una banda attenuata con una pendenza di 12 dB per ottava.
Si può proseguire. Un filtro passa-bassi del terzo ordine, ad esempio, come quello il cui schema elettrico è riportato in figura 2, ottenuto semplicemente ponendo in cascata tre filtri del primo ordine identici, mostra una pendenza in banda attenuata, ovvero al di sopra della frequenza di taglio, di 18 dB per ottava.

Figura 2: Schema elettrico di un filtro passa-bassi RC del terzo ordine ottenuto ponendo in cascata tre stadi del primo ordine.

Figura 3a: Ampiezza della risposta in frequenza di un filtro passa-bassi del primo, del secondo o del terzo ordine. La pendenza dell’attenuazione vale 6 dB/ottava moltiplicato per l’ordine del filtro.

Figura 3b: Fase della risposta in frequenza di un filtro passa-bassi del primo, del secondo o del terzo ordine. Le frequenze attenuate vengono sfasate di 90° (cioè di 1/4 di periodo) per ciascun polo, cioè per ciascun ordine del filtro.

Si possono fare anche altre cose, però, con un filtro del secondo ordine, oltre ad aumentare la pendenza del filtro. Si può, ad esempio, combinare un passa-alti e un passa-bassi per ottenere un passa-banda (figure 4 e 5), oppure un elimina-banda (figure 6 e 7), entrambe configurazioni non ottenibili con un filtro del primo ordine.

Figura 4: Schema elettrico di un filtro passa-banda RC del secondo ordine, formato da un passa-bassi e da un passa-alti in cascata.

Figura 5: Ampiezza della risposta in frequenza del filtro passa-banda di figura 4.

Figura 6: Schema elettrico di un filtro elimina-banda RC del secondo ordine.

Figura 7: Ampiezza della risposta in frequenza del filtro elimina-banda di figura 5.

La curva che rappresenta la risposta in frequenza corrisponde ad una caratteristica del filtro che si chiama “funzione di trasferimento”. La funzione di trasferimento è, per l’appunto, una funzione che ad ogni segnale in ingresso fa corrispondere un segnale in uscita. Un possibile schema concettuale per comprendere la corrispondenza tra ordine del filtro e tipologia ottenibile è il seguente: ogni componente reattivo introduce un “polo” nella funzione di trasferimento, che è un valore di frequenza in corrispondenza del quale la curva che rappresenta la risposta in frequenza presenta una deviazione verso il basso, una variazione di pendenza di ‑6 dB per ottava. In dipendenza dalla forma dello schema elettrico, lo stesso componente reattivo può introdurre anche uno ‘zero’ nella funzione di trasferimento, che corrisponde ad una deviazione verso l’alto di 6 dB per ottava della curva che rappresenta la risposta in frequenza. Il numero di zeri dipende, come già scritto, dalla topologia (cioè dalla forma) del filtro e non può superare il numero di poli. Riassumendo: il numero di poli è semplicemente pari al numero di componenti reattivi, il numero di zeri è minore o uguale al numero di poli.
Quindi un filtro del primo ordine può avere solo un polo e, eventualmente, uno zero. Un solo polo corrisponde al passa-bassi: la risposta in frequenza parte orizzontale e, in corrispondenza del polo, devia verso il basso di 6 dB per ottava. Il passa-alti ha invece uno zero nell’origine (a frequenza nulla) ed un polo in corrispondenza della frequenza di taglio: la risposta in frequenza parte quindi (da zero) con pendenza +6 dB per ottava e, in corrispondenza del polo, la curva devia verso il basso per diventare orizzontale.
Un filtro del secondo ordine presenta invece due poli e al massimo due zeri, ovvero due deviazioni verso il basso e zero, una o due deviazioni verso l’alto. Se la risposta in frequenza parte orizzontale, a destra dei due poli la pendenza è ‑12 dB per ottava. Il passa-bassi di figura 1 ha i due poli sovrapposti e nessuno zero. Il filtro del terzo ordine di figura 2 ha invece tre poli sovrapposti e nessuno zero. Il passa-banda di figura 4 ha due zeri e due poli (zero-polo-polo-zero), così come il filtro elimina-banda di figura 6, ma in un ordine diverso (polo-zero-zero-polo).

Un’altra caratteristica dei filtri passivi del secondo ordine (o di ordine superiore) è che, a differenza dei filtri passivi del primo ordine, possono oscillare. Può succedere, con i filtri passivi, se ci sono contemporaneamente componenti reattivi di tipo diverso, ovvero se ci sono almeno un condensatore e un’induttanza contemporaneamente.

Figura 8: Un filtro passa-bassi RLC.

Lo schema di figura 8 corrisponde ad un filtro passa-bassi. Infatti l’induttanza in serie blocca le frequenze alte, mentre il condensatore in parallelo all’uscita drena verso massa quello che resta della parte in alta frequenza del segnale.
Un circuito come quello di figura 8 è un sistema risonante, proprio come un pendolo o un sistema massa-molla. La frequenza di risonanza è determinata dalla combinazione dei valori di capacità (C) e induttanza (L) del circuito, mentre la resistenza (R) ne determina lo smorzamento.
Un circuito molto smorzato, cioè con una resistenza di valore elevato, tende ad oscillare poco o anche niente. Un circuito poco smorzato, al contrario, tenderà ad oscillare in maniera più significativa.
Si può pensare ad un’analogia con i sistemi meccanici, che si comportano esattamente nello stesso modo ma la cui comprensione risulta forse più intuitiva: induttanza, capacità e resistenza corrispondono a inerzia (massa), elasticità (molla) e attrito. Una massa appesa ad una molla è un sistema risonante e, in genere, se si sposta dalla sua posizione di equilibrio, inizia ad oscillare. L’oscillazione è smorzata, a causa dell’attrito; dopo un certo tempo il sistema torna praticamente fermo. Se l’attrito, e di conseguenza lo smorzamento del sistema, è sufficientemente elevato (si può pensare ad un sistema immerso in un fluido viscoso, come un olio denso), il sistema non oscilla ma torna lentamente alla sua posizione di equilibrio con un movimento di “sola andata”.
Nella figura 9 è riportato l’andamento nel tempo della risposta del circuito di figura 8 ad un gradino di tensione in ingresso, per diversi valori di smorzamento. Lo smorzamento è indicato nella legenda della figura con il simbolo ζ (è la lettera zeta, in greco). Se lo smorzamento è piccolo, la risposta al gradino è di tipo oscillatorio smorzato. Se lo smorzamento è abbastanza elevato (maggiore di uno), il sistema non oscilla.

Figura 9: Andamento nel tempo della risposta al gradino del filtro di figura 8, per diversi valori di resistenza R (e quindi di smorzamento). Se lo smorzamento è piccolo, il sistema oscilla.

La risonanza si mostra anche nel dominio delle frequenze, oltre che nel dominio del tempo. La figura 10 riporta la risposta in frequenza del circuito RLC di figura 8. Dalla figura 10 si può notare che se lo smorzamento è basso, ovvero se il valore di R è abbastanza piccolo, la risposta in frequenza presenta un picco in corrispondenza della frequenza di risonanza. Se, al contrario, il sistema è sufficientemente smorzato (cioè se ζ è maggiore di uno, anche qui), la risposta in frequenza non mostra alcun picco e la risposta è del tutto analoga a quella del circuito RC del secondo ordine di figura 1.
Da notare che pur essendo il sistema passivo, ovvero senza alcuna alimentazione, il guadagno alla frequenza di risonanza può essere anche decisamente superiore ad uno. Analogamente, anche un bambino può riuscire a fare oscillare una pesante campana tirando la corda ad intervalli regolari (pari alla frequenza di risonanza del sistema).

Figura 10: Ampiezza (a) e fase (b) della risposta in frequenza del filtro RLC di figura 8, al variare del valore della resistenza R e quindi dello smorzamento. Se lo smorzamento è basso, la risposta in frequenza presenta un picco in corrispondenza della frequenza di risonanza del sistema.

Vuoi saperne di più sulle nostre pubblicazioni nel settore dell'audio professionale? CLICCA QUI.

Vuoi restare sempre aggiornato sulle ultime novità di settore? ISCRIVITI ALLA NOSTRA NEWSLETTER.