I Filtri analogici - quarta parte

di Michele Viola

Figura 1: un filtro all-pass analogico del primo ordine. In bassa frequenza, il condensatore C si può considerare un circuito aperto e il filtro si comporta come un amplificatore invertente a guadagno unitario. In alta frequenza, dove il condensatore C si può praticamente considerare un corto-circuito, il filtro si comporta come un amplificatore non-invertente a guadagno unitario.

Figura 2: la funzione di trasferimento del circuito di figura 1, in modulo e fase. Il modulo, in blu, è costante e pari a 1 su tutta la banda, mentre la fase presenta una rotazione di 180° in bassa frequenza. In corrispondenza della frequenza caratteristica, determinata dai valori della capacità C e della resistenza R2, ingresso e uscita sono in quadratura, cioè il circuito introduce uno sfasamento di 90°.

Figura 3: un filtro all- pass del primo ordine che mantiene in fase le frequenze basse, contrariamente al filtro di figura 1.

Figura 4: la risposta in frequenza del circuito di figura 3, in modulo e in fase. Anche in questo caso il modulo è unitario su tutta la banda, mentre la fase mostra una rotazione di 180° in alta frequenza.

Un filtro all-pass, letteralmente “passa-tutto”, è un dispositivo a due porte (ingresso e uscita) che presenta una risposta in ampiezza piatta, quindi non esalta né attenua alcuna parte dello spettro. La risposta in fase però non è piatta, ovvero alcune frequenze vengono ritardate e altre meno, o anche niente.
Il nome descrive, di fatto, la risposta in ampiezza del dispositivo, in analogia con i parenti passa-alti, passa-bassi e passa-banda.
Dato che “passa-tutto” mi ricorda vagamente qualche strumento da cucina, userò qui preferibilmente la locuzione in lingua inglese, che associo più direttamente al dispositivo di elaborazione spettrale.
L’ampiezza della risposta in frequenza è piatta, cioè il dispositivo non agisce sull’ampiezza delle componenti spettrali, per cui il comportamento di un filtro all-pass è caratterizzato solamente dalla risposta in fase.
È possibile realizzare un filtro all-pass tramite circuiti analogici, come anche tramite elaborazione digitale.

Un’implementazione circuitale (analogica)

La figura 1 mostra una tipica implementazione di un filtro all-pass analogico del primo ordine. Si tratta di una configurazione attiva, in quanto utilizza un amplificatore operazionale. In bassa frequenza, il condensatore C si comporta praticamente come un circuito aperto, per cui il circuito equivale ad un amplificatore invertente a guadagno unitario. In continua, quindi, l’amplificatore di figura 1 inverte il segnale, cioè sfasa di 180°. Al crescere della frequenza, l’impedenza del condensatore diminuisce e diventa sempre più significativo il contributo della porzione di segnale sul terminale non-invertente. In “alta frequenza”, cioè quando la frequenza è abbastanza elevata da poter considerare il condensatore C alla stregua di un corto-circuito (almeno rispetto all’ordine di grandezza delle altre resistenze del circuito), il circuito equivale ad un amplificatore differenziale con guadagno non-invertente pari a due e guadagno invertente unitario, per cui in uscita si ritrova il segnale di ingresso tale e quale, cioè il guadagno complessivo è unitario e il circuito non introduce alcuno sfasamento.
Analiticamente non è difficile ricavare, per il circuito di figura 1, la seguente funzione di trasferimento:

in cui s rappresenta, come di consueto (almeno per chi è avvezzo a questo tipo di notazione) la frequenza complessa.
Dalla funzione di trasferimento si può notare facilmente che per s = 0 il guadagno è pari a ‑1, mentre per valori di ||s|| sufficientemente grandi il guadagno tende all’unità.
Il modulo della funzione di trasferimento, inoltre, è costante e pari ad 1.

Gli andamenti in frequenza di ampiezza e modulo della funzione di trasferimento del circuito di figura 1 sono riportati graficamente in figura 2.

Il circuito di figura 1, pur essendo un circuito del primo ordine, introduce uno sfasamento di 180° in bassa frequenza, quindi presenta una risposta in fase analoga a quella di un filtro (passa-alti) del secondo ordine.
Invertendo la posizione del condensatore C con quella del resistore R2 si ottiene il circuito di figura 3, che rappresenta un filtro all-pass del primo ordine che sfasa di 180° (in ritardo) le frequenze alte, lasciando al loro posto le basse frequenze, quindi presenta una risposta in fase analoga a quella di un filtro passa-bassi del secondo ordine.
La funzione di trasferimento del circuito di figura 3 è la seguente:

La corrispondente risposta in frequenza, in modulo e in fase, è riportata graficamente in figura 4.

Si possono costruire filtri all-pass anche di ordine superiore al primo, mediante circuiti specifici o, banalmente, ponendo in cascata più stadi, producendo così sfasamenti superiori a 180° su bande di frequenza specifiche.

A cosa serve?

Nel campo audio, i filtri all-pass sono utilizzati, ad esempio, nelle reti di correzione, nei cross-over, nei processori di riverbero.
Un utilizzo tipico, soprattutto in ambito radiofonico, è quello di smorzare i picchi di energia, nel senso dei segnali impulsivi veloci, contenenti una significativa quantità di energia in un breve intervallo di tempo, distribuita su un ampio intervallo di frequenze. Lo sfasamento corrisponde ad uno spostamento nel tempo (ritardo) variabile con la frequenza. Modificando la fase di alcune frequenze, quindi, l’energia dei picchi di segnale viene di fatto distribuita nel tempo, mantenendo comunque una certa coerenza spettrale. Finché la risposta all’impulso del filtro si mantiene contenuta entro pochi millisecondi, questa elaborazione è in grado di ridurre effettivamente il range dinamico (e, di conseguenza, la banda occupata in trasmissione) rimanendo contemporaneamente abbastanza trasparente all’orecchio umano.
Un altro utilizzo frequente è nei processori di riverbero, dove viene sfruttata la caratteristica “colorazione” sonora dello sfasamento di una parte dello spettro. Anche se la risposta in ampiezza è piatta, infatti, uno sfasamento sostanzioso di una parte dello spettro produce un tipico effetto che somiglia, in un certo senso, ad una esaltazione di una singola frequenza e delle sue armoniche. Le frequenze “ritardate” dal filtro, quando il ritardo (cioè lo sfasamento) è significativo, sembrano risuonare dopo ciascun impulso.
Sommare un segnale con lo stesso dopo il passaggio attraverso un semplice filtro all-pass del primo ordine, inoltre, può permettere di attenuare una parte dello spettro in maniera sostanzialmente differente rispetto ad una equalizzazione tradizionale o ad un’inversione di fase (sto pensando, ad esempio, al microfono sotto il rullante...).
Altre applicazioni in campo audio riguardano l’allineamento della fase di diversi segnali, ad esempio in uscita da un banco di filtri o da un cross-over, tenendo però conto del fatto che può non essere semplice, almeno con un circuito analogico, ottenere una risposta in fase arbitraria mantenendo una risposta in ampiezza piatta.